Zaman serileri ile ilgilenen bir çok çalışma, kullanılan değişkenlerin durağanlık sınamalarına tabi tutulmasını zorunlu kılar. 20. yy’ın üçüncü çeyreğinin sonlarına doğru, zaman serileri analizleri ile ilgilenen çoğu çalışmanın yanlış sonuçlar verdiğini öne süren Granger ve Newbold (1974), bu tür regresyonların sapmalı katsayılar içerdiğini ve sonlu olmayan varyanslara sahip olduklarını modellemişlerdir. Bu devrim niteliğindeki çalışmada bu tür regresyonlar düzmece regresyonlar olarak adlandırılmış, regresyonların son derece yüksek R2 değerlerinin aldatıcı olduğunu ve sonuçlarda çoğunlukla düşük DW (Durbin-Watson) değeri elde edileceğini, R2>d kıstasının, regresyon analizleri için düzmece olarak tanı koyulabilmesi için geçerli bir önsezi kuralı olabileceğini öne sürmüşlerdir.

Düzmece regresyonların sonuçları üzerinde kuşku duyulmasına gerekçe olarak gösterilen temel sav şudur: “Zaman serileri analizleri, belirli zaman aralığı içinde kendine ait bir karakteristik özellik barındıran süreçlere ait verileri incelemektedir. Burada bahsedilen karakteristik özellikten kasıt, verinin bir durağan olasılıklı süreç sonucunda  elde edilmiş olmasını nitelemektedir. Zira rassal yürüyüş modeli (random walk) sonucu elde edilmiş zaman serilerinin stokastik bir yapısı vardır ve bu anlamda karakteristiği belirlenemez. Dolayısıyla bu yöntemle elde edilmiş veriler üzerindeki zaman serisi analizleri bir kestirim içermeyebilirler, bu sonuçlar çoğunlukla kurgusaldır”. Bu nedenle bu şekilde elde edilen sonuçlar üzerinde yapılan t ve F testleri de anlamlı olmalarına rağmen doğru sonuçlar verememektedirler.

Ekonometrik olarak, ortalamasıyla varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki ortak varyansı bu ortak varyansın hesaplandığı döneme değil de yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı olan olasılıklı bir süreç için durağandır denir. Bu tür durağanlığa zayıf durağan olasılıklı süreç de denmektedir ve bir çok analiz için bu tür bir durağanlık yeterlidir (Gujarati,1999).

Eğer Yt aşağıdaki özelliklere sahip bir zaman serisi olursa;

Ortalama:       E(Yt) = μ            

Varyans:         var(Yt) = E(Yt -μ)2 = σ2          

Ortak varyans: Ɣk = E[(Yt – μ)(Yt+k – μ)]             

Burada k gecikme ile ortak varyans (ya da ardışık ortak varyans), Yt ile Yt+k arasındaki, yani aralarında k dönem fark olan iki Y arasındaki ortak varyanstır. Eğer k=0 ise, Ɣ0 bulunur ki bu da Y’nin varyansıdır (=σ2); k = 1 ise, Ɣ1, Y’nin ardışık iki değeri arasındaki ortak varyanstır (Gujarati,1999).

Y’nin sıfır noktasını Yt’den Yt+m‘ye kaydırdığımızı düşünelim. Eğer Yt durağansa, Yt+m‘nin ortalaması, varyansı ve ortak varyansı Yt‘ninkilerle aynı olmalıdır. Kısaca, eğer bir zaman serisi durağansa, ortalaması, varyansı ve (çeşitli gecikmelerdeki) ortak varyansı, bunları ne zaman ölçersek ölçelim aynı kalmaktadır (Gujarati,1999).

Bu aşamadan sonra artık durağanlığın tesbit edilmesine geçilebilir. Bunun paralelinde, bu çalışmada kullanılan Genişletilmiş Dickey-Fuller birim kök testi’nden (GDF), Philips-Perron birim kök testi’nden (PP) ve Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin birim kök testi’nden (KPSS) bahsedilecektir. GDF Testi temel olarak Dickey-Fuller testinin bir uzantısı olduğundan bu testten uzunca bahsedilecektir.

1. Dickey-Fuller Birim Kök Testi

Dickey-Fuller birim kök testi, literatürde en çok kabul gören durağanlık tespitidir ve zaman serisi konusunda da durağanlığın tespitinde en geçerli test olarak kabul edilmiştir (Enders, 1995).

Dickey-Fuller birim kök testi şu şekilde modellenmiştir:

Yt  = Y(t-1)  + ut

Yukarıdaki denklemde Y, inceleme konusu olan bir zaman serisi verisi olsun. O halde  terimi, Y’nin bir önceki dönemle arasında oluşan farkı gösteren hata terimidir. Bu hata terimi , varsayımsal olarak ortalaması sıfır, eş-varyanslı (homoskedastic) ve ardışık bağımlı olmayan beyaz gürültü (white noise) terimidir. Beyaz gürültü olan bir hata terimi doğası gereği stokastik veya rassal yürüyüş modeline örnektir.

Bu şekilde  değişkeninin bir dönem gecikmeli değerini gösteren ’e göre regresyonu modellenmiştir. Bu regresyon modeli hiç kuşkusuz bağımlı değişkenin bir gecikmeli değişkenini içeren birinci dereceden ardışık bağlanım modelidir ve bu model  kısaca AR(1) şeklinde gösterilebilir. Sabit terimsiz bir örnek model şu şekilde yazılabilir:

Yt  = ρY(t-1)  + ut

Yukarıdaki regresyona ilişkin elde edilecek  sonucu bize Y serisinin birim kök içerdiğini, yani rassal yürüyüş modeline uygun olduğunu, stokastik bir yapı gösterdiğini ve dolayısıyla durağan olmadığını gösterir. Bu şekilde bir zaman serisi analizine konu olacak Y değişkeni bize düzmece regresyon sonuçları sunabilir ve farklı yöntemler kullanılması gerektiğini gösterir.

Dickey-Fuller testi için uygulanması gereken aşamalar şu şekilde gerçekleşir:

(1) ΔYt=(ρ-1) Y(t-1)+ut

(2) δ=(ρ-1)

(3) ΔYt=δY(t-1)+ut

Bundan sonraki adımlarda (3) denklemindeki  katsayısı dikkate alınarak hipotezler kurulur. Daha önce  olduğunda değişkenin durağan olmadığını iddia ettiğimize göre, bu değeri (2) eşitliğinde yerine yazdığımızda artık  eşitliği bize serinin durağan olmadığını söyleyen Hhipotezini kurmamıza yardımcı olacaktır. Hipotezler şu şekilde kurulur:

H0 ∶ δ≥0                                      birim kök vardır / veri durağan değildir.

H1 ∶ δ<0                                      birim kök yoktur / veri durağandır.

Ancak DF testi sadece (3) denklemindeki gibi test edilmez. Bazen bu denklemler bir sabit terim ve buna ilaveten zamansal bir eğilimi gösteren bir eğilim katsayısı da içerebilirler. Bu gösterimleri de sırasıyla aşağıdaki gibi yazabiliriz:

(4) ΔYt1+δY(t-1)+ut                                         [Sabit Terimli]

(5) ΔYt12t+δY(t-1)+ut                       [Sabit Terim ve Eğilim Katsayılı]

Yukarıdaki iki regresyonda  sabit terimi ifade ederken,  bize eğilim katsayısını (trend) göstermektedir. Yine hipotezimiz, daha önce gösterildiği gibi,  eşitliğini sınamaktan geçer. Bu hipotezi sınamak için Student-t dağılımları yeterli değildir. Dickey ve Fuller (1976) çalışmalarında, t-değeri olarak bildiğimiz istatistik, yerini  istatistiğine bırakır. Tau-istatistiği kritik değerleri yukarıda belirtilen üç tür DF testine göre ve .01, .05 ve .10 anlamlılık seviyelerine göre ayrı ayrı belirlenmiştir. MacKinnon (1991) çalışmasında Monte Carlo örneklemleriyle tau-istatistiği daha da genişletilerek verilmiştir.

Hipotezimizin karar kuralı daima şöyledir:

| τ(tau)  istatistiği |  ≥  | 〖τ (tau)〗_(McK-DF)  |                                    ise               H0

Yani tau-istatistiği ile bulduğumuz sonucun mutlak değeri, daha önceden hesaplanmış olan MacKinnon-DF kritik değerinin mutlak değerinden büyük ise H0’ı reddedebiliriz, bu bize serinin birim kök içermediğini savunan karşı hipotezimizi savunmak için testimizde temel aldığımız kritik değerin anlamlılık seviyesinde elimizde güçlü bir argüman olduğunu işaret etmektedir.

Bir seri eğer yukarıda sayılan tüm test yöntemlerinden başarıyla geçemiyor ve hala birim kök içeriyorsa, serinin bir önceki dönemden farkını alarak hareket etmek uygulanacak ilk çözümdür, belki bu durumda seri, durağan olasılıklı süreç karakteristiği gösterebilir. Bu durumda uzun dönemli bir kestirim sağlayacak düzey (level) seviyesinden çıkılmış olunur ve birincil farklar üzerinden hareket etmek zorunda kalınır. Şayet birincil farklar halen durağan değilse ikincil veya üçüncül farklarını almak suretiyle, serinin durağan olasılıklı süreç karakteristiğini taşıyan bir türevi elde edilene kadar işlem sürdürülür.

Bu noktada serinin kaçıncı dereceden bütünleşik (integrated) olduğunu gösteren  I(d) gösterimi, serinin karakteristiğini anlamada oldukça bize yardımcı olacaktır. Örneğin hiç farkları alınmadan durağan olasıklık süreç karakteristiği gösteren herhangi bir Y serisi I(0), birincil farkları durağan olasılıklı süreç karakteristiği gösteren  serisi I(1)  olarak gösterilir ve parantez içindeki  değeri bize serinin kaçıncı dereceden bütünleşik olduğunu gösterir.

2. Genişletilmiş Dickey-Fuller Birim Kök Testi (Augmented Dickey-Fuller Test; ADF)

Kimi zaman, daha önce bahsedilen DF testinde yer alan hata terimi , eş-varyans varsayımını bozabilir ve değişen varyans (heteroskedasticity) özelliği gösterebilir veya ardışık bağımlı olabilir. Bu durumda daha önce bahsedilen (2), (3) ve (5) No’lu modellere, yani sabit terimsiz, sabit terimli ve sabit terim ile bir eğilim katsayısı da içeren modellere, hata terimlerinin ardışık bağımlı olmasını engelleyecek kadar bağımlı değişkenin birincil farklarının bir veya birden fazla gecikmeli değerinin dahil edilmesiyle genişletilir. Bunu şu şekilde gösterebiliriz:

ΔYt12t+δY(t-1)i +ut

Burada  sabit terim,  eğilim katsayısını,  ise bize  hata teriminin ardışık bağımlı olmasını engelleyecek bağımlı değişkenin farkının kaç gecikme değerinin eklendiğini gösterir. Hipotez testi DF testlerinde olduğu gibidir. GDF test istatistiği, daha önce bahsedilen DF test istatistiği ile benzer sonuçlar verdiğinden aynı kritik değerler üzerinden  istatistiği yapılmasında da hiçbir sakınca yoktur.

3. Philips-Perron Birim Kök Testi

Daha önce de belirtildiği üzere DF testi ve GDF testi hata terimlerinin rassal yürüyüş yani stokastik yapıda olması ve eş-varyans olması gibi bazı temel varsayımlara dayanmaktadır. Philips ve Perron (1988) çalışmasında, DF ve GDF testlerinin varsayımlara uyulmadığında veya serinin yapısal bir kırılmaya mağruz kaldığı durumlarda yetersiz kaldığını öne sürmüşlerdir. Bu durumdan kurtulmak için hata terimlerini düzeltmeyi öngören, parametrik olmayan bir ekleme yapmayı düşünmüşlerdir. Bu düzeltme mekanizması, DF ve GDF modellerinin AR düzeltmeleri içermesinin yanısıra, MA (Hareketli Ortalamalar-Moving Averages) düzeltmelerinin de ilave edilmesi dışında bir şey değildir. Dolayısıyla PP testi bir ARMA (Autoregressive Moving Average) sürecidir diyebiliriz.

PP testinin denklemleri aşağıdaki gibi modellenmektedir:

Yt=δY(t-1)+ut

Yt1+δY(t-1)+ut                               [Sabit Terimli]

Yt=β1+δY(t-1)2(t-T/2)+ut        [Sabit Terimli ve Eğilim Katsayılı]

Yukarıdaki modellerde  sabit terimi,  eğilim katsayısını,  gözlem sayısını göstermektedir. Tüm modellerde  hata terimi ortalaması sıfıra eşit olmakla beraber, ardışık bağımlı olabilir veya eş-varyans varsayımın ihlal edebilir (heteroskedasticity). Dolayısıyla PP testi, DF veya GDF testinin varsayımlarına bağımlı değildir. Çünkü PP testi Newey-West hata düzeltme mekanizması kullanarak ardışık bağımlılığı ortadan kaldırır ve eş-varyans varsayımını yerine getirir. Bu nedenle PP testi, Dickey-Fuller testinin kullandığı tüm kritik değerleri aynen kullanmaya devam eder. Hipotez testi DF testinde sınandığı gibi,  eşitliği üzerinden Hhipotezinin test edilmesiyle yapılır ve H0’ın reddi bize serinin birim kök içermediğini yani durağan olasılıklı süreç karakteristiği içerdiğini gösterir.

4. Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) Birim Kök Testi

Daha önce bahsedilen DF, GDF ve PP testlerindeki ortak nokta, H0 hipotezinin serinin birim kök içerdiğini yani verinin durağan olasılıklı süreç karakteristiği göstermediğinden daha önce bahsedilmişti. KPSS testi için ise tam tersi bir durum geçerlidir. Bu sefer inceleme konusu olan serinin birim kök içermediğini öne süren H0 hipotezi kurulacaktır. KPSS testinin hipotezleri aşağıdaki gibidir:

H0 ∶ σu2=0                                        birim kök yoktur / veri durağandır.

H1 ∶ σu2≠0                                        birim kök vardır / veri durağan değildir.

Kwiatkowski ve diğ. (1992) makalesine göre, yukarıdaki temel hipotezleri sınamanın koşulu şu denklemlerdir:

yt= ξt+rtt

Burada  eğilimi (trend) gösteren belirleyici (deterministic) eğilim katsayısı,  rassal terimi ve  bozucu terimi göstermektedir. Rassal terim, bir gecikmeli değeri ile aşağıdaki gibi bir ilişki içindedir:

rt=r(t-1)+ut

Burada u , rassal terimin bir gecikmeli değeri ile kendisi arasındaki hata terimidir. Bu hata terimi KPSS testi için özel varsayımların kurulduğu bir hata terimidir, buna göre bu hata terimi ardışık bağımlı olmayan ve eş-varyans (homoskedasticity) ilkelerine sahip (σu2) eşitliğidir. İşte bu hata teriminin varyansının sıfıra eşit olması, rt’nin durağan olmasını sağlayan koşulu yerine getirmektedir. Test istatistiği eşik değerleri Lagrange çarpanı ile belirlenmiş ve Kwiatkowski ve diğ. (1992) makalesinde yayımlanmıştır.

TOP